Pojdi na vsebino

Uniformni zvezdni polieder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Uniformni zvezdni polieder je sebesekajoči uniformni polieder. Imenuje se tudi nekonveksni polieder. Vsak polieder ima stranske ploskve, ki so zvezdni mnogokotniki, imajo za slike oglišč zvezdne mnogokotnike ali oboje.

Polna skupina 57 neprizmatičnih uniformnih poliedrov vključuje 4 pravilne, ki se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri, 5 je kvazipravilnih poliedrov in 48 je polpravilnih.

Razen tega obstaja še neskončna množica uniformnih zvezdnih prizem in uniformnih zvezdnih antiprizem. Tako kot neizrojeni zvezdni mnogokotniki, ki imajo mnogokotniško gostoto večjo od 1 in pripadajo krožnim mnogokotnikom s prekrivajočimi se ploščicami, zvezdni poliedri ne potekajo skozi središče in imajo politopsko gostoto večjo od 1, ter odgovarjajo sfernim poliedrom s prekrivajočimi se ploščicami. Obstaja 48 takšnih uniformnih zvezdnih poliedrov. Ostalih 9 neprizmatičnih uniformnih zvezdnih poliedrov, ki tečejo skozi središče, je polpoliedrov in ne odgovarjajo sfernim poliedrom, ker se jim ne da na enoličen način projicirati središča na sfero.

Nekonveksne oblike se lahko konstruirajo s pomočjo Schwarzevih trikotnikov.

Mali prirezani ikozikozidodekaeder je uniformni zvezdni polieder s sliko oglišč 35.5/2
(3 3 2) trikotniki na sferi

Diedrska simetrija

[uredi | uredi kodo]

Glej prizmatični uniformni polieder.

Tetraedrska simetrija

[uredi | uredi kodo]

Obstajata dve nekonveksni obliki. To sta tetrahemiheksaeder in octahemioktaeder, ki imata tetraedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (3 3 2)).

Obstojata dva Schwarzeva trikotnika, ki enolično generirata nekonveksne uniformne poliedre: eden je pravokotni trikotnik (3/2 3 2) in en splošni trikotnik (3/2 3 3).

razvrstitev oglišč
(konveksna ogrinjača)
nekonveksne oblike

tetraeder
 

rektificirani tetraeder
(oktaeder)

Tetrahemiheksaeder4.3/2.4.3)
3/2 3 | 2

prisekani tetraeder
 

kantelirani tetraeder
(kubooktaeder)

(6.3/2.6.3)
3/2 3 | 3

omniprisekani tetraeder
(prisekani oktaeder)
 

prirezani tetraeder
(ikozaeder)
 

Oktaedrska simetrija

[uredi | uredi kodo]
(4 3 2) trikotniki na sferi

Obstaja 8 konveksnih in 10 nekonveksnih oblik z oktaedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (4 3 2)).

Znani so štirje Schwarzevi trikotniki, ki nekonveksne oblike, od tega sta dva za pravokotne trikotnike (3/2 4 2) in (4/3 3 2) ter dva za splošne trikotnike: (4/3 4 3) in (3/2 4 4), ki generirajo nekonveksne oblike.

razvrstitev oglišč
(konveksna ogrinjača)
nekonveksne oblike

kocka
 

oktaeder
 

kubooktaeder

(6.4/3.6.4)
4/3 4 | 3

prisekana kocka

(4.8/3.4/3.8/5)
2 4/3 (3/2 4/2) |

(8/3.3.8/3.4)
3 4 | 4/3

(4.3/2.4.4)
3/2 4 | 2

prisekani oktaeder
 

rombikubooktaeder

(4.8.4/3.8)
2 4 (3/2 4/2) |

(8.3/2.8.4)
3/2 4 | 4

(8/3.8/3.3)
2 3 | 4/3

neuniformni
prisekani kubooktaeder

(4.6.8/3)
2 3 4/3 |

neuniformni
prisekani kubooktaeder

(8/3.6.8)
3 4 4/3 |

prirezana kocka
 

Ikozaedrska simetrija

[uredi | uredi kodo]
(5 3 2) trikotniki na sferi

Znanih je 8 konveksnih in 46 nekonveksnih oblik z ikozaedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (5 3 2). Nekatere od prirezanih oblik imajo zrcalno ogliščno simetrijo.

razvrstitev oglišč
(konveksna ogrinjača)
nekonveksne oblike

ikozaeder

{5,5/2}

{5/2,5}

{3,5/2}

neuniformni
prisekani ikozaeder
2 5 |3

U37
2 5/2 | 5

U61
5/2 3 | 5/3

U67
5/3 3 | 2

U73
2 5/3 (3/2 5/4) |

neuniformni
prisekani ikozaeder
2 5 |3

U38
5/2 5 | 2

U44
5/3 5 | 3

U56
2 3 (5/4 5/2) |

neuniformni
prisekani ikozaeder
2 5 |3

U32
| 5/2 3 3

ikozidodekaeder
2 | 3 5

U49
3/2 3 | 5

U51
5/4 5 | 5

U54
2 | 3 5/2

U70
5/3 5/2 | 5/3

U71
3 3 | 5/3

U36
2 | 5 5/2

U62
5/3 5/2 | 3

U65
5/4 5 | 3

prisekani dodekaeder
2 3 | 5

U42

U48

U63

neuniformni
prisekani dodekaeder

U72

dodekaeder

{5/2,3}

U30

U41

U47

rombiikozidodekaeder

U33

U39

U58

Beveled
Dodecahedron

U55

neuniformni
rombiikozidodekaeder

U31

U43

U50

U66

neuniformni
rombiikozidodekaeder

U75

U64

Skillingova oblika
(glej spodaj)

neuniformni
prisekani ikozidodekaeder

U45

neuniformni
prisekani ikozidodekaeder

U59

neuniformni
prisekani ikozidodekaeder

U68

neuniformni
prirezani dodekaeder

U40

U46

U57

U69

U60

U74

Skillingova oblika

[uredi | uredi kodo]

Eden izmed ostalih nekonveksnih poliedrov je veliki dvojnoprirezani dirombidodekaeder, ki je znan kot Skillingova oblika. Je ogliščno uniformen. Pari robov sovpadajo v prostoru. Štiri stranske ploskve se tako srečajo na istem robu. Ima simetrijo Ih.

Izrojene oblike

[uredi | uredi kodo]

Coxeter (1907-2003) je našel večje število izrojenih zvezdnih poliedrov s pomočjo Wythoffove konstrukcije. Ti poliedri vsebujejo prekrivajoče se robove in oglišča. Takšni izrojeni obliki sta:

Glej tudi

[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave

[uredi | uredi kodo]
  • Weisstein, Eric Wolfgang. »Uniform Polyhedron«. MathWorld.